δ関数怖い - 理系的芋のチラ裏

$\rho(x,y,z) = A \cos\left(\frac{2\pi x}{a}\right) \cos\left(\frac{2\pi y}{a}\right) \delta(z)$
で表される電荷密度で電荷が分布しているとき、静電ポテンシャル $\phi(x,y,z)$ を求める問題。

(1) $z\gt 0$ での静電ポテンシャルの方程式を求めよ。また、 $z=0$ での接続条件を書け。
$z\gt 0$ では電荷密度は0なので、ここではLaplace方程式
$\triangle \phi(x,y,z)=0$
になるのは明らか。z=0での接続条件が分からない。
(2) $\phi(x,y,z) = B \cos\left(\frac{2\pi x}{a}\right) \cos\left(\frac{2\pi y}{a}\right) e^{-Cz}$ を仮定して $\phi$ を求めよ。
$\left( \frac{\partial ^2}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2}{\partial z^2}\right)\phi(x,y,z) = 0$
となる条件から、
$C=\frac{2\pi\sqrt{2}}{a}$
はすぐに求まる。問題はB。結局これは境界条件から頑張るしかない。
z=0のPoisson方程式は
$\triangle \phi(x,y,z)=-\frac{A}{\varepsilon_0} \cos\left(\frac{2\pi x}{a}\right) \cos\left(\frac{2\pi y}{a}\right) \delta(z)$
仮説I.
芋「z=0ならだいったい $\triangle \phi(x,y,z)=-\frac{A}{\varepsilon_0} \cos\left(\frac{2\pi x}{a}\right) \cos\left(\frac{2\pi y}{a}\right)$ になるんじゃね？」
と思って計算開始。
$B=\frac{a^2}{8\pi^2 \varepsilon_0}A$ になった。Aは明らかに電荷面密度の次元を持っているので、距離の次元は[L^-2]。と、いうことはBが距離の次元を持たない……？そんなバカな。Bは静電ポテンシャルなんだから距離の次元は[L^-1]になるはず。
仮説II.（多分正しいと思う）
z=0では、電場がx,y成分を持つと電荷がその方向に動き出してしまうので、静電場でなくなる。よってz=0での接続条件は
$\left.\frac{\partial \phi}{\partial x}\right|_{z=0} = 0,\quad \left.\frac{\partial \phi}{\partial y}\right|_{z=0} = 0$
これを用いると、z=0では
$\triangle \phi(x,y,z) = \frac{\partial ^2 \phi}{\partial z^2}$
とできるので、
$\frac{\partial ^2 \phi}{\partial z^2}=-\frac{A}{\varepsilon_0} \cos\left(\frac{2\pi x}{a}\right) \cos\left(\frac{2\pi y}{a}\right) \delta(z)$
これを $z=0$ を含むように、両辺 $z\in [-\epsilon,\epsilon ]$ の微小区間で積分すると
$\left.\frac{\partial \phi}{\partial z}\right|^\epsilon_{-\epsilon} = -\frac{A}{\varepsilon_0} \cos\left(\frac{2\pi x}{a}\right) \cos\left(\frac{2\pi y}{a}\right)$
これにφを代入して計算し、 $\epsilon \rightarrow 0$ の極限をとると
$B=\frac{A}{2\varepsilon_0 C} = \frac{a}{4\pi\sqrt{2}\varepsilon_0}A$
を得て、次元も一致してめでたしめでたし。
デルタ関数怖いアル。