『物性研究者のための場の量子論』(2)

輪読第一回。Sec.2-1~2-4まで、担当俺で。

そのときの議論のまとめ。
Sec.2-1　相互作用の無い場合での多粒子系の量子力学を、一粒子系の場の方程式に書き直す　最初はHeisenberg描像で、そのあとSchrodinger描像に直す
Sec.2-2　2-1では「多体系→場の一粒子系」と書き直したが、交換関係などを用いて逆に「場の一粒子系→多体系」の方程式に書き直す
Sec.2-3　相互作用のある場合でも、相互作用ポテンシャルを書き直して同等の一粒子系方程式が導かれる
Sec.2-4　場の演算子 $\varphi(\bf{x} ,t)$ を、同等の運動量演算子 $a_k (t)$ に変換する

疑問点
$(\bf{\nabla}\phi^*_l(\bf{x}))(\bf{\nabla}\phi_{l'}(\bf{x})) = -\phi^*_l(\bf{x})\nabla^2 \phi_{l'}(\bf {x})$ となる理由
→解決　 $\int d\bf{x}$ 内にあるので部分積分する
$\int d\bf{x}(\bf{\nabla}\phi^*_l(\bf{x}))(\bf{\nabla}\phi_{l'}(\bf{x})) = \left[\phi_l^*(\bf{x})\nabla \phi_{l'}(\bf{x}) \right] _{-\infty}^{\infty} - \int d\bf{x}\phi^*_l(\bf{x})\nabla^2 \phi_{l'}(\bf {x})$
で、第一項は波動関数が無限大で0になることから0となる。
$[\hat{H}_0,\: \varphi^\dag(\bf{x}_i)] = \mathcal{H}_i\varphi^\dag(\bf{x}_i)$ となる理由
→未解決
$\hat{H}_0 = \int d\bf{x} \left{\frac{\hbar}{2m}(\bf{\nabla}\varphi^\dag_l(\bf{x}))(\bf{\nabla}\varphi_{l'}(\bf{x})) + V(\bf{x})\varphi^\dag (\bf{x}) \varphi(\bf{x}) \right}$
に対し、交換関係
$[ \varphi(\bf{x}),\:\varphi^\dag(\bf{x}')] = \delta(\bf{x}-\bf{x}')$
$[ \varphi^\dag(\bf{x}),\:\varphi^\dag(\bf{x}') ] = [ \varphi^\dag(\bf{x}),\:\varphi^\dag(\bf{x}') ] = 0$
を用いて左辺を計算すると多分出る。計算方法は自信無し。
$\mathcal{H}_i = -\frac{\hbar}{2m}\nabla^2 + V(\bf{x})$ だと思うけどこれも自信無し。

まとめ
$\varphi(\bf{x})$ だけで多粒子系のSchrodinger方程式と同等だよ、すごいね！

次回
本格的に場を量子化する・・・・・・はず。