tensor計算

相対論

一般の2階反変tensorに対して
P^{\mu\nu}_{\qquad ;\nu} = \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial(\sqrt{-g}P^{\mu\nu})}{\partial x^{\nu}} + \Gamma^{\mu}_{\quad \alpha\beta}P^{\alpha\beta}
を示す問題。(gはg_{\mu\nu}の行列式)

terarと二人で考える。できるわけねーという結論に達する。答えを見る。
\frac{\partial(\sqrt{-g}P^{\mu\nu})}{\partial x^{\nu}} = P^{\mu\nu}\frac{\partial(\sqrt{-g})}{\partial x^{\nu}} + \sqrt{-g}\frac{\partial(P^{\mu\nu})}{\partial x^{\nu}}
= P^{\mu\nu} \frac{1}{2}\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\nu}} + \sqrt{-g}\frac{\partial(P^{\mu\nu})}{\partial x^{\nu}}
= \;\cdots\;\cdots
一行目はただの積の微分として、二行目がもうすでに分からん。

ところで、だ。こんな問題が別のページにあった。
\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial(\sqrt{-g})}{\partial x^{\nu}} = \frac{1}{2}g^{\mu\nu}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\nu}}
を示せ。
これを使えば上の問題の答えの一行目から二行目は分かるじゃないか。これくらいは分かるぜ。

まぁこの証明もさっぱり分からない（この辺で情けなくなってくる）。
答えを見る。

答え「g_{\mu\nu}の余因子行列を\tilde{g}^{\mu\nu}とする。行列式の定義より
\frac{\partial g}{\partial x^{\mu}} = \tilde{g}^{\alpha\beta}\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^{\mu}}
となるから……（以下略」
定義！？定義って何だ！！？？
生まれてこのかたそんな行列式の定義を見たことが無い。

ここまで遡ってなお知らないこと、理解できないことがある。
持ち込むプリントに
「行列式の定義：\frac{\partial g}{\partial x^{\mu}} = \tilde{g}^{\alpha\beta}\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^{\mu}}」
と書き加えて無理矢理一件落着させた俺であった。