1+1=2

高校時代だったか、京大の数学の試験でこんな問題が出たというのがどこかの掲示板（2chではない）に載っていた。


1+1=2を証明せよ。


この問題は何を要求しているのだろうか？
すなわち、加法の定義、1の定義、2の定義を問うていることに他ならない。
自然数系（ここでは0も含む）での1,0の定義は以下の通りである。
∀n:ne=en=nなるeを1と書く
∀n:n+o=o+n=nなるoを0と書く
この定義から、0,1がひとつしか存在しないことは即座に証明できる。
（e,e'がどちらも1とすると、e=ee'=e'　0も同様に）
加法の定義は少々面倒だ。仮定しても文句は言われなさそうだが、結合則・交換則と乗法に関しての分配法則が成り立つなどから定義できそうだ。


で、ここまではまぁいい。
問題は、「2の定義」だ。
「N上の元で、1の次の数」とする方法もあろう。
しかし、この問題ではそうしてしまうと、
「∀n:n+1=n"(n"はnの次の数)」
という自然数系の公理から、題意がすぐに示せてしまう。
これは出題者の本意ではないだろう。
というわけで、「2の定義」が別方面から必要になる。
もしくは、ペアノ演算の公理から全く別に自然数系を定義し、その公理の下で1+1=2を示す方法もあろう。その場合は「2の定義」は「1の次の数」としてもよいかもしれない。


いずれにしても、代数初心者の俺には厳しい問題だった。
でも妙に気になって、深夜に信号処理そっちのけで代数の本を読み始め、すると嵌ってしまった。良くあるよね。