パワースペクトル - 理系的芋のチラ裏

大学で友人とつけ麺を食べるはずが、ドタキャンされて期せずして暇に。
一日中篭ってるくらいなら誰か呼んで外で勉強したほうがよかったかなぁ。

パワースペクトルの復習。
$x[n]$ の自己相関関数は
$R[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]x[n + m]$
となる。微妙にConvolutionじゃないのがポイント。Convolutionなら
$\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]x[n - m]$
となるところなのだが。
パワースペクトルはこのFourier変換。離散時間の場合は
$S_{xx}(\Omega) = \sum_{n=-\infty}^\infty R[n] e^{-j\Omega n}$
であっているはず。
z変換の式から明らかなように、
$Y(\Omega) = H(\Omega)X(\Omega)$
が成り立っているが、これをパワーの式に直すと
$S_{yy}(\Omega) = |H(\Omega)|^2 S_{xx}(\Omega)$
となる。これを使えば、パワーSN比は、
$\mathrm{\frac{S}{N}} = \frac{S_{xx}}{S_{yy} - S_{xx}} = \frac{S_{xx}}{|H(\Omega)|^2 S_{xx}(\Omega) - S_{xx}}$ の周波数領域の合計で良いはず。
問題では入力信号のスペクトルが平坦らしいので、この大きさを $A$ とし、 $-\pi \leq \omega \leq \pi$ での全パワーを求めると、 $2\pi A$ となる。これを用いて書き換えると
$\mathrm{\frac{S}{N}} = \frac{2\pi A}{A\int_{-\pi}^\pi |H(\Omega)|^2 \mathrm{d}\omega -2\pi A} = \frac{1}{\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |H(\Omega)|^2 \mathrm{d}\omega -1}$
となる。ここで、Parsevalの関係式を思い出せば
$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |H(\Omega)|^2 \mathrm{d}\omega = \sum_{n=-\infty}^\infty h[n]$
が成り立つ。問題では $h[n]$ は、せいぜい $|n|\leq 2$ のところにしか値を持たないので、計算できるという寸法だ。
Parsevalの等式を最後の最後に使わせるとか、これ間違いなく模範解答だろう。
Webに上がっていた一つ上の方々のwikiの答えにもなかったが、これは自信がある。