二次曲線分かりません - 理系的芋のチラ裏

$x_1^2 + x_2^2 -6x_1 x_2 + 2x_1 +4x_2 + \frac{15}{8} =0$
の標準形を求める問題。
$x_1^2 + x_2^2 -6x_1 x_2$ の部分に注目して、クロスタームを消す変換を行う。
$\left(\begin{array}x_1 \\ x_2 \end{array}\right) = P\left(\begin{array}y_1 \\ y_2 \end{array}\right)$
となる直交行列Pを用いると
$\bf{x}^\top \left(\begin{array}{cc}1 & -3 \\ -3&1 \end{array}\right)\bf{x} = \bf{y}^\top P^\top \left(\begin{array}{cc}1 & -3 \\ -3&1 \end{array}\right) P \bf{y}$
と変形できる。 $P^\top \left(\begin{array}{cc}1 & -3 \\ -3&1 \end{array}\right) P$ が対角行列になればクロスタームが消えるので、適当に求めてやると
$P = \left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$
とすれば、 $P^\top = P^{-1}$ を満たす。このような $y_1,y_2$ に変数を変換してやれば
$-2y_1^2 + 4y_2^2 + 3\sqrt{2}y_1 -\sqrt{2}y_2 + \frac{15}{8} =0$
になるはず。これを平方完成すれば
$-2(y_1-\frac{3\sqrt{2}}{4})^2 + 4(y_2 - \frac{\sqrt{2}}{8})^2 = -4$
だから、平行移動してやれば
$2z_1^2 -4z_2^2 = 4$
が標準形。だよね。

$x_1^2 + x_2^2 -6x_1 x_2 + 2x_1 +4x_2 + \frac{15}{8} =0$
この最初の式自体を、 $\bf{x}'^\top = (x_1\; x_2 \; 1)^\top,\quad \bf{z}'^\top = (z_1\; z_2 \; 1)^\top$ というベクトルを用いて
$\bf{x}'^\top \left(\begin{array}{ccc}1 & -3 &1 \\ -3&1 & 2 \\ 1 & 2 & \frac{15}{8}\end{array}\right)\bf{x}' = \bf{z}'^\top Q^\top \left(\begin{array}{ccc}1 & -3 &1 \\ -3&1 & 2 \\ 1 & 2 & \frac{15}{8}\end{array}\right) Q \bf{z} =0$
と変形することもできるはず。そうすると、今度は
$Q^\top \left(\begin{array}{ccc}1 & -3 &1 \\ -3&1 & 2 \\ 1 & 2 & \frac{15}{8}\end{array}\right) Q$
を対角化すればよい。対角化された行列は、標準形の形から
$\left(\begin{array}{ccc}c & & \\ &-2c & \\ & &-2c\end{array}\right),\; c\neq 0$
となるべきはず。そう、なるべきはずなんだ。だって標準形は一意のはずだもの。

$\left(\begin{array}{ccc}1 & -3 &1 \\ -3&1 & 2 \\ 1 & 2 & \frac{15}{8}\end{array}\right)$ の固有値を計算したら、３次方程式の解が求まらず詰んだ。しょうがないのでPCで計算。
$\lambda = - 2.9473022 \quad 2.5287876 \quad 4.2935146$
あ、あれ……？
同じ値の固有値が無い時点で詰んでいる気がしなくも無い。
どこの考え方がおかしいのだろう。
気づいた方は是非教えて頂きたい。