Dirac量子力学　(1) - 理系的芋のチラ裏

自宅警備員と勉強する機会を得てしまったので、そのときのメモをアップしてみる。
まぁ彼はずっと超伝導の勉強をしていたのだが。

Dirac "The Principles of Quantum Mechanics"
化学系の友人（物理化学系らしいが）がこの本を読んでいたので、確か勧めたの俺だったし読み直そうかなと。
もともとはbracket表示が全くのイミフだった時代に読んだもので、次は確かDirac方程式の勉強に使ったくらいか。
当然だがあんなもの買えないので、図書館で勉強していただけである。
訳書は原書にかなり忠実なので、信用してよいだろう。

$c_1|A\rangle + c_2|B\rangle = |R\rangle$
一次演算子 $\alpha:|A\rangle \mapsto |F\rangle, \qquad \qquad |F\rangle = \alpha |A\rangle$
$|A\rangle \langle B|:\forall |P\rangle \mapsto |A\rangle$ となる一次演算子
仮定：ある時刻の一次演算子は、その時刻での力学変数に対応する
adjoint $\bar{\alpha}$
$\langle P|\alpha$ に対して共役虚(conjugate imaginary,complex conjugateとは異なる)のket $\bar{\alpha}|P\rangle$
$\langle B|\bar{\alpha}|P\rangle = \bar{\langle P|\alpha|B\rangle}$ より $\bar{\bar{\alpha}}=\alpha$ 　これは複素数と似ている
$\alpha = \bar{\alpha}$ のとき、self-adjoint　実の一次演算子　実数の力学変数に対応
固有値(eigenvalue)と固有ベクトル(eigenvector)
『固有』に"proper"は使わないらしい
$\alpha|P\rangle = a|P\rangle \quad a \in \mathbb{C}$ のとき、 $|P\rangle$ は固有値 $a$ に属している、という
$|\xi'\rangle :\xi$ なる力学変数の固有値 $\xi'$ に属する固有ket
Observable:固有値が実、固有状態が完全な組を作る（完備なHilbert空間を作ることと同じ？）
$\xi$ の固有値が離散的か連続的か
1.離散的な場合、 $\forall |P\rangle : |P\rangle = \sum |\xi'\rangle$
2.連続的な場合、 $\forall |P\rangle : |P\rangle = \int |\xi'\rangle \mathrm{d}\xi'$
3.一般的な場合、 $\forall |P\rangle : |P\rangle = \sum |\xi'd\rangle + \int |\xi'c\rangle \mathrm{d}\xi'$
仮定: $\langle x | \xi |x\rangle$ はEnsemble平均を表す。( $|x\rangle : \mathrm{normalized}$ )
$\xi$ :observable　 $|x\rangle$ :normalizedな固有ket
$\xi$ の平均値は $\langle x | \xi |x\rangle$
$f(\xi)$ の平均値は $\langle x | f(\xi) |x\rangle$
2つのobservableが交換すれば、同時に両方の固有状態となるketが完全な組を作る数だけ存在する
逆：2つのobservableが、その同時固有状態のketが完全系をなしていれば、可換　これも成立
よってobservableが可換⇔同時固有状態が完備
このようなobservableは同時に観測することができる（ひとつの物理量の観測に、もうひとつの物理量が付随して観測される）

割と簡単なところだったはずなのに時間かかったっていう。
メモ書き無いところは理解したんでしょう。